Geometria Analítica Método Simplificado Para Rectas Paralelas Y Perpendiculares

Posteado: 05/12/2010 |Comentarios: 0 | Vistas: 1,404 |

Como profesor de Matemáticas en los distintos niveles de enseñanza, mediante la contínua práctica y el uso del razonamiento puramente lógico y un análisis simple de los distintos temas de ésta ciencia he podido deducir una infinidad de métodos y formas prácticas de resolver diferentes situaciones matemáticas de una manera simple sin recurrir incluso muchas véces a engorrosas fórmulas, teoremas o propiedades que más confunden su entendimiento sobre todo a estudiantes de estas materias.

Para éste artículo he elegido al azar dentro de la Geometría Analítica el análisis de las RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES puntualmente, más no todo el tema en sí, pués mi intención es mostrar sólo un tópico de éste por obvias razones. En próximos artículos iré exponiendo otros puntos interesantes utilizando esta MANERA TAN SIMPLE DE VER LAS MATEMÁTICAS.

Antes de continuar debo resaltar que éste artículo vá dirigido para conocedores de ésta materia, que tengan experiencia en ésto, en particular no debe de ser considerado por estudiantes que recién se inician en ésta materia para no dar lugar a confusiones, más quienes tienen al menos una base de éstos conocimientos pueden analizarla con sumo cuidado.

LA ECUACIÓN DE LA RECTA: De la engorrosa teoría se sabe que la ecuación de la recta está conformada por puntos del conjunto de pares ordenados (X,Y), dentro del plano cartesiano delimitado por los ejes X é Y y obedecen a una regla de formación dada de distintas formas, entre ellas por ejemplo:

Y = mX + b    ó    aX + bY + c = 0

En donde para una valor de X le correspone un valor a Y. Ambas rectas se grafican en el plano X-Y. El valor de "m" es la pendiente o inclinación de la recta respecto al eje X y "m" se relaciona con la segunda ecuación mediante  m = -a/b. Y se dice que 2 rectas son paralelas si ambas tienen igual pendiente y son perpendiculares cuando el procucto de sus pendientes nos dá el factor  -1.

Para analizar el caso de las RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ya de un modo sencillo vamos directamente a analizar éstos casos mediante un problema de cada caso.

1).- RECTAS PARALELAS:

PROBLEMA: Se tiene la recta L1:  3X + 4Y +7 = 0, se desea, hallar la ecuación de la recta L2, paralela a L1 de modo que L2 pase por el punto  A (3,-2).

SOLUCIÓN: Como 2 rectas paralelas tienen la misma pendiente m = -a/b   (aX + bY + c = 0) en nuestro caso L1: tendrá pendiente m = -3/4 lo mismo que L2: m = -3/4  con lo que podemos llegar a la conclusión de que si L1 es:  3X + 4Y + 7 = 0 ,  L2   también tendrá como sus 2 primeros factores a  3X  y  4Y  pero su término independiente será otro, es decir  L2: 3X + 4Y + K = 0. Osea:

L2 : 3X + 4Y + K = 0   Será paralela a :                                                                                L1 : 3X + 4Y + 7 = 0

Y como en los datos del problema se  nos dice que el punto A (3. -2) pertenece a dicha recta L2, entónces, para hallar la ecuación pedida nos faltaría hallar el valor de K que se obtiene reemplazando en L2:

L2 : 3(3) + 4(-2) + K = 0             K = -1      Con lo que :

L2 : 3X + 4Y - 1 = 0

Normalmente la solución de éste problema nos hubiera llevado a una serie de fórmulas y teoremas más extensos. Lo que hemos hecho en éste caso a sido únicamente que teniendo en cuenta que si una recta tiene la forma : aX +bY + k1 = 0 , la recta paralela a ésta tomará la forma : aX + bY + k2.

 

RECTAS PERPENDICULARES:

PROBLEMA: Se tiene la recta  L1 : 2X + 3Y + 11 = 0   Se desea hallar la ecuación de la recta L2, perpendicular a L1 de modo que L2 pase por el punto A (1,2) .

SOLUCIÓN: Para 2 rectas perpendiculares se cumple que el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir  m1.m2 = -1  ó  m1 = -1/m2   es decir que si la pendiente de la primera recta es m1 = a/b ,   la pendiente de la segunda será  m2 = - b/a es decir el negativo de la fracción inversa, osea que si  L1 es : 2X + 3Y + 11 = 0 entónces la ecuación de L2 : será : 3X - 2Y + K = 0.  Para no confundirnos podemos generalizar de éste modo mediante el razonamiento que si L1: aX + bY + c = 0   la ecuación de su recta perpendicular será:  L2 : bX - aY + K = 0 .  Luego:

L2: 3X - 2Y + K = 0    Será perpendicular a:

L1: 2X + 3Y + 11 = 0

Y como de los datos del problema se nos dice que L2 pasa por el punto A (1,2)  Para hallar la ecuación de la recta nos faltaría hallar el valor de K reemplazando en L2

L2 : 3(1) - 2(2) + K = 0        K = 1     con lo que:

L2 : 3X - 2Y + 1 = 0.

Del mismo modo que en el cado anterior, hemos resuelto éste problema de una manera más sencilla que los métodos tradicionales y mecánicos. Para éste segundo caso debemos concluir que si: L1 : aX + bY + K1 = 0  la recta perpendicular a ésta tendrá la forma  L2:  bX - aY + K2 = 0.

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